math-矩阵的加法、乘法、转置、求逆、行列式

分类于 Math

矩阵运算及 md表示记录

python需要用到的库 numpy

import numpy as np

矩阵加法

两个相同维数矩阵的加法可以通过对应元素的相加得到， $a_{ij} + b_{ij}$

$$
\begin{Bmatrix}
1 & 2 & 3 \
4 & 5 & 6
\end{Bmatrix}
+
\begin{Bmatrix}
4 & 5 & 6 \
7 & 8 & 9
\end{Bmatrix}
=
\begin{Bmatrix}
5 & 7 & 9 \
11 & 13 & 15
\end{Bmatrix}
$$

矩阵乘法

定义设矩阵 $A=(a_{ij}){m \times n}$, $B=(b{ij}){s \times n}$ ，那么矩阵A 与矩阵B 的乘积是一个 $m \times n$ 矩阵$C=(c{ij}){m \times n}$ ，其中 $c{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+…+a_{is}b_{sj}=\sum_{k=1}^s{a_{ik}b_{kj}}$
只有当矩阵A 的列数等于矩阵B 的行数时，两个矩阵才能相乘
例如
$$
C=A \times B =
\begin{Bmatrix}
1 & 2 & 3\
4 & 5 & 6
\end{Bmatrix}
\times
\begin{Bmatrix}
1 & 4\
2 & 5\
3 & 6

\end{Bmatrix}
\begin{Bmatrix}
1x1+2x2+3x3 & 1x4+2x5+3x6\
4x1+5x2+6x3 & 4x4+5x5+6x6

\end{Bmatrix}
\begin{Bmatrix}
14 & 32\
32 & 77
\end{Bmatrix}
$$

python代码测试

def matTest2():
    ma = [[1, 2, 3],
        [4, 5, 6]]
    ma = np.mat(ma) # 转为ndarray对象，矩阵化
    mb = [[1, 4],
        [2, 5],
        [3, 6]]
    mb = np.mat(mb)
    mc = ma.dot(mb) # 矩阵乘法
    print(mc)
    pass

结果
[[14 32]
 [32 77]]

转置矩阵

定义：把矩阵 A 的 行列互换 所得到的矩阵称为原矩阵的 转置矩阵，以 $A^T$ 表示。
即 $A=(a_{ij}){m \times n}$ ， $A^T = (a{ji})_{n \times m}$

$$
A =
\begin{Bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{21} \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
a_{m1} & a_{m1} & \cdots & a_{mn} \
\end{Bmatrix}
,A^T =
\begin{Bmatrix}
a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1} \
a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2} \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nm} \
\end{Bmatrix}
$$
例如：
$$
A=
\begin{Bmatrix}
1 & 2 & 3 \
4 & 5 & 6
\end{Bmatrix}
, A^T=
\begin{Bmatrix}
1 & 4\
2 & 5\
3 & 6
\end{Bmatrix}
$$

python代码测试

def matTest3():
    ma = [[1, 2, 3],
        [4, 5, 6]]
    ma = np.mat(ma)
    mb = ma.T #矩阵转置
    print(mb)
    pass
    
结果
[[1 4]
 [2 5]
 [3 6]]

矩阵求逆

定义：一个n阶 方阵A 称为可逆的，或非奇异的，如果存在一个n阶 方阵B，使得 $A \times B = B \times A = E$ 并称B是A的一个 逆矩阵。不可逆的矩阵称为 奇异矩阵。A 的逆矩阵记作 $A^{-1}$。且 $A \times A^{-1}$ 得到的矩阵为 对角线元素全为1，其他元素全为0
例如：
$$
A=
\begin{Bmatrix}
-2 & 1\
4 & -3
\end{Bmatrix}
,B=
\begin{Bmatrix}
-\frac{3}{2} & -\frac{1}{2}\
-2 & -1
\end{Bmatrix}
$$

$$
A \times B =
\begin{Bmatrix}
-2 & 1\
4 & -3
\end{Bmatrix}
\times
\begin{Bmatrix}
-\frac{3}{2} & -\frac{1}{2}\
-2 & -1

\end{Bmatrix}
\begin{Bmatrix}
1 & 0\
0 & 1
\end{Bmatrix}
$$
所以判断两个矩阵是否为互逆矩阵，直接相乘即可判断
性质：
1. 可逆矩阵一定是方阵。
2. （唯一性）如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。
3. A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作 $(A^{-1})^{-1} = A$
4. 可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且 $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$ (转置的逆等于逆的转置）
5. 若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。
6. 两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
7. 矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

python代码测试

def matTest4():
    ma = [[-2, 1],
        [4, -3]]
    ma = np.mat(ma)
    mb = np.linalg.inv(ma) # 矩阵求逆
    print(mb)
    mc = ma.dot(mb)
    print(mc)
    pass

结果
[[-1.5 -0.5]
 [-2.  -1. ]]
[[ 1.  0.]
 [ 0.  1.]]

矩阵行列式

对角线展开
$$
二阶：
\begin{Bmatrix}
a_1 & b_1\
a_2 & b_2
\end{Bmatrix}
= a_1b_2-a_2b_1
$$

$$
三阶：
\begin{Bmatrix}
a_1 & b_1 & c_1\
a_2 & b_2 & c_2\
a_3 & b_3 & c_3
\end{Bmatrix}
=a_1b_2c_3+b_1c_2a_3+c_1a_2b_3-a_3b_2c_1-b_3c_2a_1-c_3a_2b_1
$$
降阶展开（适合高阶行列式）
$$
按第一阶展开：
\begin{Bmatrix}
a_1 & b_1 & c_1\
a_2 & b_2 & c_2\
a_3 & b_3 & c_3

\end{Bmatrix}
a_1 \times
\begin{Bmatrix}
b_2 & c_2\
b_3 & c_3
\end{Bmatrix}

b_1 \times
\begin{Bmatrix}
a_2 & c_2\
a_3 & c_3
\end{Bmatrix}

c_1 \times
\begin{Bmatrix}
a_2 & b_2\
a_3 & b_3
\end{Bmatrix}
$$

$$
按中阶展开：
\begin{Bmatrix}
a_1 & b_1 & c_1\
a_2 & b_2 & c_2\
a_3 & b_3 & c_3
\end{Bmatrix}
=
b_2 \times
\begin{Bmatrix}
a_1 & c_1\
a_3 & c_3
\end{Bmatrix}

a_2 \times
\begin{Bmatrix}
b_1 & c_1\
b_3 & c_3
\end{Bmatrix}

c_2 \times
\begin{Bmatrix}
a_1 & b_1\
a_3 & b_3
\end{Bmatrix}
$$

python代码测试

def matTest5():
    ma = [[1, 2],
       [1, 3]]
    ma = np.mat(ma)
    mb = np.linalg.det(ma)
    print(mb)

    mf = [[1, 2, 3],
       [4, 5, 6],
       [7, 8, 9]]
    mf = np.mat(mf)
    me = np.linalg.det(mf)
    print(me)
    
结果
1.0
6.66133814775e-16

附_矩阵的markdown表示

$$
\left\{
 \begin{matrix}
   1 & 2 & 3 \\
   4 & 5 & 6 \\
   7 & 8 & 9
  \end{matrix}
  \right\} \tag{2}
$$

$$
\left{
\begin{matrix}
1 & 2 & 3 \
4 & 5 & 6 \
7 & 8 & 9
\end{matrix}
\right} \tag{2}
$$

$$
\begin{Bmatrix}
   1 & 2 & 3 \\
   4 & 5 & 6 \\
   7 & 8 & 9
  \end{Bmatrix} \tag{5}
$$

$$
\begin{Bmatrix}
1 & 2 & 3 \
4 & 5 & 6 \
7 & 8 & 9
\end{Bmatrix} \tag{5}
$$

$$
\left[
 \begin{matrix}
   1 & 2 & 3 \\
   4 & 5 & 6 \\
   7 & 8 & 9
  \end{matrix}
  \right] \tag{3}
$$

$$
\left[
\begin{matrix}
1 & 2 & 3 \
4 & 5 & 6 \
7 & 8 & 9
\end{matrix}
\right] \tag{3}
$$

$$
\begin{bmatrix}
   1 & 2 & 3 \\
   4 & 5 & 6 \\
   7 & 8 & 9
  \end{bmatrix} \tag{4}
$$

$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \
4 & 5 & 6 \
7 & 8 & 9
\end{bmatrix} \tag{4}
$$

$$
\left[
\begin{matrix}
 1      & 2      & \cdots & 4      \\
 7      & 6      & \cdots & 5      \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 8      & 9      & \cdots & 0      \\
\end{matrix}
\right]  \tag {6}
$$

$$
\left[
\begin{matrix}
1 & 2 & \cdots & 4 \
7 & 6 & \cdots & 5 \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
8 & 9 & \cdots & 0 \
\end{matrix}
\right] \tag {6}
$$

$$
\left[
    \begin{array}{cc|c}
      1 & 2 & 3 \\
      4 & 5 & 6
    \end{array}
\right] 
=>
\left[
    \begin{array}{cc|c}
      1 & 2 & 3 \\
      4 & 5 & 6
    \end{array}
\right] \tag{7}
$$

$$
\left[
\begin{array}{cc|c}
1 & 2 & 3 \
4 & 5 & 6
\end{array}
\right]
=>
\left[
\begin{array}{cc|c}
1 & 2 & 3 \
4 & 5 & 6
\end{array}
\right] \tag{7}
$$

1	我们使用矩阵 $\bigl( \begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix} \bigr)$ 作为因子矩阵，将其...

我们使用矩阵 $\bigl( \begin{smallmatrix} a & b \ c & d \end{smallmatrix} \bigr)$ 作为因子矩阵，将其…