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从小到大最拿手的科目, 中间遗忘了一段时间, 没想到工作中竟然还能用到, 重新捡起来.

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傅里叶变换

蒙特卡罗尔积分

Monte Carlo Integration

关于函数f(x)f(x)的基本蒙特卡罗尔积分，就可以用一个公式来概括，即：
$$
\int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x \approx \frac{\pi}{N} \sum_{i=1}^{N} f\left(x_{i}\right)
$$
同时，我们可以得出更加通用的公式：
$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \approx \frac{b-a}{N} \sum_{i=1}^{N} f\left(x_{i}\right)
$$

Hammersley采样

在图形学里面，用到了很多的采样算法。特别当你在写一个光线追踪器的时候，会使用大量的采样算法来对BRDF，光源等进行采样。这些采样操作，一般是先通过创建一个具有均匀分布的2D随机点集合，然后通过变换，将这些2D随机点变换到具体的采样数据上去，如BRDF的方向等等。关于这部分变换和相应的原理，后面会有相应的章节来讲解，今天我们先来了解一个在实现PBR中，经常被使用到的均匀分布的2D随机采样方式–Hammersley采样。

Hammersley采样，听上去好像很深奥的样子，实际上是一个十分简单的操作。

我们知道，在计算机里面大量使用了二进制来表示数据，如下表所示的一些十进制与二进制的对应关系：

十进制 二进制
1 1
2 10
3 11
4 100

而Hammersley采样就是利用计算机使用二进制表示的特性，来构造均匀分布的2D随机采样点。它是通过对一个二进制数进行Radical
Inverse方法，来构造出一个值来实现的。它的过程如下表：

十进制 二进制 Radical Inverse 值
1 1 .1 = 1 * 1/2 0.5
2 10 .01 = 0 * 1/2 + 1 * 1/4 0.25
3 11 .11 = 1 * 1/2 + 1 * 1/4 0.75
4 100 .001 = 0 * 1/2 + 0 * 1/4 + 1 * 1/8 0.125

从上表可以看到，Radical Inverse方法，就是简单的将给定的十进制数的二进制表示方法，反过来放在小数点之后，构造一个在[0,1]之间的值。

在明白了Radical Inverse方法之后，我们就可以构造hammersley的2D随机分布的采样点集合，如下所示：

为了方便，这里同时给出GLSL的代码，便于大家参考：

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float RadicalInverse(uint bits) {
    bits = (bits << 16u) | (bits >> 16u);
    bits = ((bits & 0x55555555u) << 1u) | ((bits & 0xAAAAAAAAu) >> 1u);
    bits = ((bits & 0x33333333u) << 2u) | ((bits & 0xCCCCCCCCu) >> 2u);
    bits = ((bits & 0x0F0F0F0Fu) << 4u) | ((bits & 0xF0F0F0F0u) >> 4u);
    bits = ((bits & 0x00FF00FFu) << 8u) | ((bits & 0xFF00FF00u) >> 8u);
    return float(bits) * 2.3283064365386963e-10f;
}

vec2 Hammersley(uint i, uint N) {
    return vec2(float(i) / float(N), RadicalInverse(i));
}

重要性采样

Importance Sampling

如何通过对基本蒙特卡罗尔积分方法进行改进，从而加快求解积分的速度。所以，今天就来和大家讲解在图形学里面，一种非常重要的加快积分的手段-重要性采样(Importance Sampling)。

我们先回顾下基本蒙特卡罗尔积分的内容，如下所示：
$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \approx \frac{b-a}{N} \sum_{i=0}^{N-1} f\left(x_{i}\right)
$$

新的积分器函数
$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \approx \frac{1}{N} \sum_{i=0}^{N-1} \frac{f\left(x_{i}\right)}{p\left(x_{i}\right)}
$$

同时，从我们新的积分器，也能够得出前面一篇文章中讲解的基本蒙特卡罗尔积分器来，只要将：
$$
p(x)=\frac{1}{b-a}
$$
带入新的积分器中，就能够得到。